生成地震波

Generation of Artificial Earthquake Wave

（一）前言

    地震及其破坏性是众所周知的，在工程设计中，建筑物是否能抵御地震的破坏是不可忽视的设计技术指标，有些建筑工程在设计工作完成以后往往还需进行原型或模型的抗震试验，以检验地震对建筑物的破坏程度。
    目前我国已制造及引进了各种振动试验设备，特别是大型模拟地震振动台的建造和引进，使在实验室内模拟实际地震成为现实。为了模拟地震，一般可采用由地震现场记录到的实际地震波来做为振动试验设备的输入信号。但在实际工程设计、试验及计算中仍希望根据预定条件来生成人工模拟地震波。

    我们知道地震振动可描述为一个时间函数或反应谱（富氏谱或功率谱）。反应谱可以这样计算：几个具有相同阻尼比和不同自振频率的单自由度振动系统（弹簧--阻尼系统），在相同地震激励信号的作用下，记录各振动系统的最大反应（例如：加速度），并将其绘制在自振频率图上，这就是关于特定阻尼下振动系统的反应谱。

    本程序是用期望地震反应谱做为生成地震波的基础，期望地震反应谱可以根据建筑工程结构、地质条件、设计规范及综合各种地震反应谱等设计。

    生成人工模拟地震波程序是在我们编制的Vib'SYS数字信号分析、处理程序支持下的应用程序，程序由两部分组成：

    ① 输入地震波期望反应谱程序
    ② 生成人工模拟地震波程序

（二）生成人工模拟地震波原理

期望谱+计算谱曲线
    地震反应谱是用实际地震波时域信号计算得到的，而该运算是不可逆的。在生成地震波前，先用给定的期望地震反应谱来计算功率谱，再根据功率谱生成人工地震波。

对于给定自振频率和阻尼的单自由度振动系统，建立其标准差与反应谱关系式

(1)

对于系数项到目前为止还没有准确的方法来计算，所以我们用近似方发来逼近。
首先解释标准差，对于窄带白噪声（均值为零）的方差表示为

(2)

对在平稳随机信号激励下，线性系统的频响函数为

(3)

其中是反应信号的功率谱，是激励信号的功率谱, 这样反应信号的方差表示为

(4)

由标准差，反应信号的加速度伪标准差可用下式计算（为自振角频率）

(5)

当输入为加速度信号，输出为相对位移时，单自由度振动系统的频响函数（增益因子）按下式计算

(6)

其中：

为自振角频率
ω为强迫振动角频率
ξ为阻尼比

对于小阻尼振动系统，在伯德（Bode）图上，频响函数在处显示出很尖的峰值。以此为先决条件，反应加速度伪标准差由下式计算（把(6)和(3)式代入(5)整理得到


	(7)

上式是以平稳随机过程条件的。对比较短的地震过程就不能满足此条件。
Corotic和Vanmarcke用与时间相关的谱密度函数Ｇ(ω,t)来近似计算标准方差

(8)

函数依据于输入信号的谱密度函数和系统的特性。对线性系统，单位脉冲的频响函数定义为

(9)

当时，函数收敛于频响函数。则与时间相关的谱密度函数表示为

(10)

对有如下的近似计算公式

(11)

当ｔ远大于

时，上式的积分结果接近于

。把这个值与(11)式比较，假设与时间相关的阻尼定义为

(12)

将

代入(6)式，即得出与时间相关的频响函数的近似计算公式

(13)

对于标准差的系数项也要进行近似计算。Vanmarcke用下式来计算


	(14)

式中：	为在单自度周期内的振动量
	为反应谱谱线 i的角频率为地震振动周期，取决于包络线的形式和周期概率系数(0->1.0)

用概率系数

可以控制计算过程中得到的反应谱的平均幅值是低于或高于期望反应谱的幅值。当

时，相对于期望反应谱的计算反应谱幅值上升和下降的概率是相等的。当概率系数

时，实际计算反应谱的幅值低于期望反应谱。当概率系数

时，

项中的

。
根据以上公式的推导过程，把(1)和(7)式整理得出地震波功率谱的计算公式

(15)

由期望反应谱计算出地震波功率谱以后，用随机信号发生器来生成随机相位，再经富氏逆变换来生成地震波。

（三）包络

为了使生成的人工地震波的形式更接近实际地震波，在程序中我们设计了四种包络线形式。根据需要可以用任何一种包络线来乘生成的地震波。

①

无包络线(No Envelope)

这种情况生成的地震波信号的包络线取省略梯型包络线形式，其包络线参数AT=Tmax/6、UT=4×Tmax/6、DT=Tmax/6，其中Tmax为地震波的最大时程。

②

梯型包络线(Trapezoid)〔梯型包络线见附图一所示〕
参数上升时间AT，持续时间UT和下降时间DT是可以根据需要自由选择的。AT+UT+DT等于地震波最大持续时间。

③

指数函数包络线(Exponential)〔指数函数包络线见附图二所示〕

参数AM,F1,F2和信号总时间长度Ｔ是可以根据需要自由选择的。

④

复和包络线(Combined Envelope)〔复和包络线见附图三所示〕

（四）地震波基线和幅值校正

为了保证所生成的地震波加速度信号在其结束处的位移和速度为零，我们用三次多项式对已生成的地震波进行校正。

一般来说，生成的地震波加速度信号的幅值应达到期望加速度幅值，但实际是做不到的。当已生成的地震波的幅值超过期望幅值时，我们对整个地震波用下面系数来乘

其中：	是期望地震波加速度幅值
	是实际地震波加速度幅值

如果已生成的地震波的幅值低于期望幅值时，我们把置成，这似乎是不可理解的，但在以后生成地震波的迭代过程中会逐步修正的。

（五）迭代─地震波功率谱校正

根据期望地震反应谱，我们近似计算出地震波的功率谱，经氏富逆变换生成出地震波，再用包络线乘地震波、基线校正和幅值校正以后，我们就来计算已生成的地震波的绝对加速度反应谱，然后用期望反应谱Ｓdes(ω)和计算反应谱Ｓach(ω)按下式来修正地震波的功率谱

i=1,2,...,N

这样的一次修正过程称为迭代一次，整个迭代过程根据需要进行Ｎ次，当然计算得到的地震反应谱是永远达不到期望地震反应谱的，但误差随迭代的次数的增加会逐渐减小的。

（六）计算地震波绝对加速度反应谱

地震反应谱的计算是采用了Duhamel积分法，对于单自由度振动体系我们有下面振动方程：

(1)

式中，x 为相对位移； ω 为自振角频率；
ξ 为临界阻尼比；a(t) 为地震波加速度记录。

a(t)可以看成由一系列等步长(△t=1/Fsample)的彼此相连的直线段构成。在ti≤t≤ti+1，有


(i=1,2,...,N)	(2)

于是，式(1)的Duhamel积分可表示为：

(3)

式中，Ｍ和Ｌ分别为二阶矩阵，每个矩阵元素都是ξ，ω和△ｔ的函数。对于给定的ξ和ω，且△ｔ为常数时，Ｍ和Ｌ的每一个元素都是常数。

可以证明，这时矩阵Ｍ的诸元素为：

Ｌ矩阵的诸元素分别为∶

式中,

给定频率 f，阻尼比ξ和步长△t，按照以上Ｍ和Ｌ矩阵中诸元素的计算公式则可求出常数矩阵Ｍ和Ｌ。然后，按照式(2)，并假定初始速度和初
始位移为0，就可逐步计算出相对位移X(ti)和相对速度X(ti)(i=1,2,...,N)

由式(1) 既可得到绝对加速度反应：

(4)

从Ｎ个反应中，挑出绝对值最大者，就得到了反应谱上的一个点。

生成地震波的期望反应谱是绝对加速度反应谱，绝对加速度反应谱与工程单位动力放大倍数β之间的关系：

其中：	绝对加速度反应谱 [g]
	为地震波最大加速度幅值 [g]

（七）IRESP 输入地震波期望反应谱

在Vib'SYS程序的支持下，调用“输入反应谱”功能选择项进入输入地震波期望反应谱程序。输入地震波期望反应谱程序的功能选择窗如下：

然后程序将提示用户输入期望反应谱文件(Response Spectrum file No)、储存反应谱点文件号(Spectrum Points File No.)和它们的通道号，建议在Vib'SYS程序定义这两个文件的FFT 长度时取1024，为了提高计算精度也可以选为2048或4096，这时计算速度也相应减慢了。对于储存反应谱点文件和期望反应谱文件，在Vib'SYS程序内它们的文件类型必须定义为复数型数据文件。

在输入了以上参数以后用户即可根据需要输入期望反应谱，用户只须输入期望反应谱的离散频率或周期和谱线值，当输入参数结束以后IRESP 程序将自动用对数曲线对已输入的期望反应谱的谱线值在定义的频率范围内进行插值。

当FFT 长度选为1024时，期望反应谱文件需要用８个复数型数据块来储存 512条期望反应谱谱线。

输入的期望地震波反应谱：

输入谱线频率[Hz]	期望反应谱[g]	计算谱线频率[Hz]
0.40 0.78 2.38 5.71 33.0	0.056 0.451 1.962 2.532 0.733	0.488 0.732 2.441 5.615 32.959

在上例中设采样频率为250Hz；FFT 长度是 1024 ；这时信号的频率分辩率为250/1024=0.244Hz，所输入的期望反应谱的频率值被最近于此值的谱线频率值代替，例如所输入的 0.4 Hz 谱线被近似为0.448Hz的谱线代替。
当用命令"E" 结束输入期望反应谱以后，程序将自动对已输入的离散的期望反应谱线进行对数插值，插值结果存入复数型期望反应谱数据文件内。

(八) 生成人工模拟地震波

在Vib'SYS程序的支持下，调用“生成人工波”功能选择项进入生成模拟人工地震波程序。在程序执行以后，程序会提示用户输入所需参数。

生成人工模拟地震波程序的功能选择窗如下：

在计算反映谱与期望反映谱之间的误差仍不能满足需要时还可以继续进行迭代，当继续迭代时，为生成地震波的功率谱仍用上次计算结果。

包络线类型梯型包络线、指数型包络线、复和包络线。

    在每次迭代过程中，程序会显示迭代次数、反应谱谱线频率、期望反应谱幅、计算反应谱幅值、反应谱最大时刻和期望反应谱与计算反应谱之间的误差。


[例1] 建两个Vib'SYS数据文件的方法

    生成人工模拟地震波需两个数据文件，但这五个数据文件可选用两个Vib'SYS数据文件名(File Name) 及与其相对应的Vib'SYS文件号(No)可以根据规定任意给出, 例如在Vib'SYS程序内有如下数据文件定义:

号	文件名	盘	型	道	数采分辨率	秒/谱线	块数
1	EARTH.TRM	C:	R	1	1.0	10.0	20
2	SPECTRUM.FRQ	C:	C	4	1.0	1024	16

Vib'SYS程序文件定义说明：

文件号	Vib'SYS文件名	通道	文件定义说明
1	EARTH.TRM	1	存放生成的地震波
2	SPRECTUM.FRQ	1	存放生成地震波的自功率谱
3	SPRECTUM.FRQ	2	存放期望地震反应谱
4	SPRECTUM.FRQ	3	存放计算地震反应谱
5	SPRECTUM.FRQ	4	存放输入反应谱的离散点数

“输入地震波期望反应谱程序”需用Vib'SYS数据文件2号文件的第2通道和2号文件的第4通道。

“生成人工模拟地震波程序”需用Vib'SYS数据文件1号文件和2号文件的1至3通道。

[例2] 建五个Vib'SYS数据文件的方法

生成人工模拟地震波所需的五个数据文件的文件名(File Name) 及与其相对应的Vib'SYS文件号(No)可以根据规定任意给出, 例如在Vib'SYS程序内有如下数据文件定义:

号	文件名	盘	型	道	数采分辨率	秒/谱线	块数
11	EARTH.TIM	C:	I	1	12Bits	10.0	20
12	CALPSD.FRQ	C:	F	1	1	1024	16
13	DESRESP.FRQ	C:	F	1	1	1024	16
14	CALRESP.FRQ	C:	F	1	1	1024	16
15	POINT.FRQ	C:	F	1	1	1024	16

Vib'SYS程序文件定义说明

文件号	Vib'SYS文件名	通道	文件定义说明
1	EARTH.TRM	1	存放生成的地震波
2	CALPSD.FRQ	1	存放生成地震波的自功率谱
3	DESRESP.FRQ	1	存放期望地震反应谱
4	CALRESP.FRQ	1	存放计算地震反应谱
5	POINT.FRQ	1	存放输入反应谱的离散点数

“输入地震波期望反应谱程序”需用13和15号Vib'SYS数据文件
“生成人工模拟地震波程序”需用11，12，13和14号Vib'SYS数据文件

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